手撸机器学习算法 线性回归

编程开发 2021-08-08 573℃ 0 0

如果说感知机是最最最简单的分类算法,那么线性回归就是最最最简单的回归算法,所以这一篇我们就一起来快活的用两种姿势手撸线性回归吧

算法介绍

线性回归通过超平面拟合数据点,经验误差一般使用MSE(均平方误差),优化方法为最小二乘法,算法如下:

  1. 假设输入数据为X,输出为Y,为了简单起见,这里的数据点为一维数据(更好可视化,处理方式没区别);
  2. MSE公式为:(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(w*x_i+b-y_i)^2);
  3. 最小二乘法:最小指的是目标是min,二乘指的就是MSE中误差的二次方,公式为:(min\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(w*x_i+b-y_i)^2);
  4. 由于目标是查找拟合最好的超平面,因此依然定义变量w和b;
  5. 对于w和b的求解有两种方式:
    a. 列出最小化的公式,利用优化求解器求解:
    b. 基于已知的X、Y,未知的w、b构建MSE公式;
  6. 定义最小化MSE的目标函数;
    7.利用求解器直接求解上述函数得到新的w和b;

对经验误差函数求偏导并令其为0推导出w和b的解析解:

基于最小化MSE的优化问题可以直接推导出w和b的计算方法;
基于推导出的计算方法直接计算求解;

利用求解器求解

利用求解器求解可以看作就是个列公式的过程,把已知的数据X和Y,未知的变量w和b定义好,构建出MSE的公式,然后丢到求解器直接对w和b求偏导即可,相对来说代码繁琐,但是过程更简单,没有任何数学推导;

代码实现

初始化数据集

X = np.array([1.51, 1.64, 1.6, 1.73, 1.82, 1.87])
y = np.array([1.63, 1.7, 1.71, 1.72, 1.76, 1.86])

定义变量符号

所谓变量指的就是那些
2c58
需要求解的部分,次数就是超平面的w和b;

w,b = symbols('w b',real=True)

定义经验误差函数MSE

RDh = 0
for xi,yi in zip(X,y):
RDh += (yi - (w*xi+b))**2
RDh = RDh / len(X)

定义求解函数

此处就是对w和b求偏导;

eRDHw = diff(RDh,w)
eRDHb = diff(RDh,b)

求解w和b

ans = solve((eRDHw,eRDHb),(w,b))
w,b = ans[w],ans[b]

运行结果

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手撸机器学习算法 线性回归

完整代码

from sympy import symbols, diff, solve
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

'''
线性回归拟合wx+b直线;

最小二乘法指的是优化求解过程是通过对经验误差(此处是均平方误差)求偏导并令其为0以解的w和b;
'''

# 数据集 D X为父亲身高,Y为儿子身高
X = np.array([1.51, 1.64, 1.6, 1.73, 1.82, 1.87])
y = np.array([1.63, 1.7, 1.71, 1.72, 1.76, 1.86])
# 构造符号
w,b = symbols('w b',real=True)
# 定义经验误差计算公式:(1/N)*sum(yi-(w*xi+b))^2)
RDh = 0
for xi,yi in zip(X,y):
RDh += (yi - (w*xi+b))**2
RDh = RDh / len(X)
# 对w和b求偏导:求偏导的结果是得到两个结果为0的方程式
eRDHw = diff(RDh,w)
eRDHb = diff(RDh,b)
# 求解联立方程组
ans = solve((eRDHw,eRDHb),(w,b))
w,b = ans[w],ans[b]print('使得经验误差RDh取得最小值的参数为:'+str(ans))

plt.scatter(X,y)
x_range = [min(X)-0.1,max(X)+0.1]
y_range = [w*x_range[0]+b,w*x_range[1]+b]
plt.plot(x_range,y_range)

plt.show()

推导公式求解

与利用优化器求解的区别在于针对(min\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(w*x_i+b-y_i)^2)对(w)和(b)求偏导并令其为0,并推导出w和b的计算公式是自己推导的,还是由优化器完成的,事实上如果自己推导,那么最终代码实现上会非常简单(推导过程不会出现在代码中);
w和b的求解公式推导

首先,我们的优化目标为:

[min \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(w*x_i+b-y_i)^2
]

去除公式中无关的常量部分:

[min \sum_{i=1}^{N}(w*x_i+b-y_i)^2
]

由于一般w是向量,而b为标量,因此通常会将w和b组成[w b],x变为[x 1]来统一处理w和b,调整后如下:

[\sum_{i=1}^{N}(wx_i^T-y_i)^2
]

上式把平方拆开有:

[\sum_{i=1}^{N}(ww^Tx_ix_i^T-2wx_i^Ty_i+y_i^2)
]

对于w(注意此时w为原w和b的组合)求偏导过程如下:

[\begin{equation*}
\begin{split}
\frac{\partial \sum_{i=1}^{N}(ww^Tx_ix_i^T-2wx_i^Ty_i+y_i^2)}{\partial w} &= 2w^Tx_ix_i^T-2x_i^Ty_i \
&= 0 \
\end{split}
\end{equation*}
]

上式变形后有:

[2w^Tx_ix_i^T - 2x_i^Ty_i = 0 \
w^Tx_ix_i^T = x_i^Ty_i \
w^T = (x_ix_i^T)^{-1}x_i^Ty_i
]

由于此处的w其实是w和b的组合,因此通过这一次推导就得到了w和b两个求解方法;

代码实现

构造数据集

X = np.array([1.51,1.64,1.6,1.73,1.82,1.87]).reshape(-1,1)
y = np.array([1.63,1.7,1.71,1.72,1.76,1.86])

为X增加元素全为1的一列用于和b的计算

ones = np.ones(X.shape[0]).reshape(-1,1)
X = np.hstack((ones,X))

通过求解公式求解w和b

w = np.linalg.inv(self.X.T @ self.X) @ self.X.T @ self.y
w,b = w[1:],w[0]
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